对于正整数 m，积分 \int \frac{1}{1+x^m} \, dx 可通过部分分式分解求解。根据 m 的奇偶性，1+x^m 在实数范围内的因式分解形式不同，导致积分表达式有所差异。
一、一般方法
设 x_k = e^{i\pi(2k+1)/m} \ (k=0,1,\dots,m-1) 为方程 1+x^m=0 的根。
-
当 m 为偶数时所有根均为非实数且共轭成对出现，共 m/2 对。实数域内分解为：
1+x^m = \prod_{k=0}^{m/2-1} \left[ x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1 \right].部分分式分解形式为：
\frac{1}{1+x^m} = \sum_{k=0}^{m/2-1} \frac{A_k x + B_k}{x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1},其中 A_k, B_k 为待定实数。积分得：
\int \frac{dx}{1+x^m} = \sum_{k=0}^{m/2-1} \left[ \frac{A_k}{2} \ln\left(x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1\right) + \frac{B_k + A_k \cos\theta_k}{\sin\theta_k} \arctan\left( \frac{x - \cos\theta_k}{\sin\theta_k} \right) \right] + C,其中 \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{m}。
-
当 m 为奇数时
有一个实根 x=-1，其余为非实数共轭对。实数域内分解为：1+x^m = (x+1) \prod_{k=0}^{(m-3)/2} \left[ x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1 \right].部分分式分解形式为：
\frac{1}{1+x^m} = \frac{C}{x+1} + \sum_{k=0}^{(m-3)/2} \frac{A_k x + B_k}{x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1},其中 C, A_k, B_k 为待定实数。积分得：
\int \frac{dx}{1+x^m} = C \ln|x+1| + \sum_{k=0}^{(m-3)/2} \left[ \frac{A_k}{2} \ln\left(x^2 - 2x \cos\frac{(2k+1)\pi}{m} + 1\right) + \frac{B_k + A_k \cos\theta_k}{\sin\theta_k} \arctan\left( \frac{x - \cos\theta_k}{\sin\theta_k} \right) \right] + C',其中 \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{m}。
系数 A_k, B_k, C 可通过留数计算或待定系数法确定。
二、特例
- m=2：
\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C.
- m=3：
\int \frac{dx}{1+x^3} = \frac{1}{6} \ln\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C.
- m=4：
\int \frac{dx}{1+x^4} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln\frac{x^2 + \sqrt{2}x + 1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \arctan(\sqrt{2}x + 1) + \arctan(\sqrt{2}x - 1) \right) + C.
三、总结
积分结果由对数函数和反正切函数的线性组合构成，具体形式取决于 m 的奇偶性。奇数情形包含一个 \ln|x+1| 项，偶数情形则全为二次分式的积分。