在证明与积分相关的不等式的时候，可以将积分用离散形式表达，进而进行进一步操作：
eg_1
证明：
\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx
不妨转化为
\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}
我们可以注意到，左边这个积分实际上可以视为f(x)的算数平均数，而右边可以视为几何平均数，这样，我们将其拆分就理所当然了。
\begin{align*}
\int_0^1f(x)\,dx
&= \lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{k=1}\frac{f(\frac{k}{n})}{n}\\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n}
\end{align*}
而
e^{\int_0^1lnf(x)\,dx}
=\lim_{n\to\infty}\exp(\sum_{k=1}^{n}\frac{lnf(\frac{k}{n})}{n})
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}
由几何平均数小于算数平均数得：
\sqrt[n]{f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})\cdots f(\frac{n}{n})}
\leq
\frac{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})}{n}
当n\to\infty有
\int_0^1 f(x) \, dx \geq e^{\int_0^1 \ln f(x) \, dx}
即为：
\ln \int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx